Aula 1#
Já que essa é a primeira postagem sobre matemática do Cola Certa vamos começar com Indução Matemática.
Lápis e papel na mão, já.
Primeiro Princípio de Indução.
Suponha que para cada número natural n se tenha uma proposição P(n) que satisfaça as seguintes propriedades:
* P(1) é verdadeira
* Sempre que a proposição for válida para um número natural arbitrário n = K será válida para o seu sucessor n = K + 1
Exemplo 1:
Demonstre as afirmações abaixo utilizando o primeiro princípio de indução:
P(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Para todo n pertencente aos naturais
Solução:
Fazendo n = 1, temos que onde tem n substituiremos por 1
n = n(n+1)/2 ==> 1 = 1(1+1)/2 ==> 1 = 1(2)/2 ==> 1 = 2/2 ==> 1 = 1
realmente 1 = 1 não é verdade?
Suponhamos que a proposição P(n) seja verdadeira para n = k. Assim:
HIPÓTESE:
P(n): 1 + 2 + 3 + ... + K = K(K+1) /2
Vamos mostrar que para todo k pertencente aos naturais P(n) também é verdadeira
n = K + 1
TESE:
P (k + 1): 1 + 2 + 3 + ... + K = [(K+1) . (K+2)] /2
Vamos lá, somando (K + 1) a ambos os membros da Hipótese:
1 + 2 + 3 + ... + K + (K + 1) = [K(K+1) / 2] + (K + 1)
Pegaremos só a segunda parte da equação por enquanto:
= [K(K+1) /2] + (K + 1) ==> = [K(K+1)+2(K+1)] /2
Fazendo os cálculos teríamos:
= (K²+K+2K+2)/2 ==> = (K²+ 3K+2)/2
Onde usando K=[-b±√(b²-4ac)] /2a para encontrar as raízes da equação K² +3K+2 temos que, K = -1 ou K = -2. Logo:
= [(K+1) . (K+2)] /2
1 + 2 + 3 + ... + K + (K + 1) = [(K+1) . (K+2)] /2
Portanto fica demonstrado que P(K+1) é verdadeira, sendo assim, P(n) é verdadeira para todo n pertencente aos naturais.
Logo postarei mais um exemplo.
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