INDUÇÃO MATEMÁTICA (SUPERIOR)

Aula 1#

No segundo exemplo temos:

Demonstre as afirmações abaixo utilizando o primeiro princípio de indução:

P(n): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[ n(n + 1)] = n/(n + 1)

Solução:

OBS: O 'x' nas expressões abaixo vale como sinal de multiplicação.

(i) Para n = 1, temos:

"Fórmula"

1/[ n(n + 1)] = n/(n + 1)

1/[ 1(1 + 1)] = 1/(1 + 1)     ==>     1/(1 x 2) = 1/2     ==>     1/2 = 1/2

logo P(1) é verdadeira.

(ii) Vamos supor que a proposição P(n) é verdadeira, para n = K, assim.

HIPÓTESE:

P(K): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[ K(K + 1)] = K/(K + 1)

precisamos mostrar que proposição P(n) também é verdadeira P tal que n = K + 1

TESE:

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/{(K + 1) x [(K + 1) + 1]} = (K + 1)/[(K + 1) + 1]

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[(K + 1) x (K + 1)] = (K + 1)/(K + 2)

Vamos reescrever a tese:

P(K + 1): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[K(K + 1)] + 1/[(K + 1) x (K + 2)] = (K + 1)/(K + 2)

Somando 1/[(K + 1) x (K + 2)] a ambos os termos da hipótese teremos.

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[K(K + 1)] + 1/[(K + 1) x (K + 2)] = K/(K + 1) + 1/[(K + 1) x (K + 2)]

pegaremos após a igualdade.

 = K/(K + 1) + 1/[(K + 1) x (K + 2)]

vamos tentar escrever melhor...

... K (K + 2) + 1      =       K² + 2K + 1       =     (K + 1) (K + 1)     =     k + 1

   (K + 1) (K + 2)           (K + 1) (K + 2)            (K + 1) (K + 2)            K + 2

Logo; a proposição P( K + 1 ) é verdadeira.

Portanto P(n) é verdadeira para todo n pertence aos naturais.

Comentem se há "erros" ou se ta legal, Divulguem, sejam membros do blog ...                   ... NÃO CUSTA NADA.