MATEMÁTICA MATRIZ (MÉDIO)

Respondendo mais uma a pedidos.

Como responder uma questão que parece ser fácil.

Vou fazer uma resposta passo a passo e tentar ser o mais direto possível, vamos começar o exercício.

Pergunta

Em uma matriz quadrada de ordem n, quantos elementos não pertencem à diagonal secundária

Partindo da ideia de que a matriz é composta por elementos aij  “linha e coluna” temos que:

Numa matriz quadrada de ordem n temos n linhas e n colunas.

se você montar qualquer matriz quadrada a diagonal principal sempre será do tipo i = j

já a diagonal secundária sempre será do tipo i + j = n + 1

Você já percebeu que a ordem da matriz é igual ao número de elementos da diagonal principal?

pois é pode conferir, sabendo que isso é verdade é fácil perceber que a diagonal secundária também terá o mesmo número de elementos, sendo assim, todos os elementos restantes é a resposta.

Temos agora um outro problema, quantos outros elementos restam? pois é, como a matriz é quadrada, podemos facilmente calcular sua área.

Ex:

Numa  matriz de ordem 2 temos:

1             2

3             4

lembra quanto é o quadrado de 2? pois é 4 e 4 também é o número de elementos da matriz, subtraindo de 4 o número de elementos da diagonal secundária que é 2 temos como resposta 2.

tudo bem que essa é muito fácil mas temos como tirar uma relação de tudo isso!

tenho que a ordem ao quadrado menos a ordem é igual a o número de elementos...

Assim temos a relação do tipo n² - n = número de elementos que não fazem parte da diagonal principal.

n=2           =>           2² - 2 = 2

Numa  matriz de ordem 3 temos:

1             2             3

2             3             4

3             4             5

n=3           =>            3² - 3 = 6

Para não ficar o noite toda fazendo matrizes vamos generalizar.

Dá para calcular os elementos que não fazem parte da diagonal secundária (x) com a fórmula.

n² - n = x


Não sei se isso era o que você procurava, mas se for espero ter ajudado. Um abraço... ...e comentem divulguem e registrem-se no blog (me ajuda aê) kkkkkkk

INDUÇÃO MATEMÁTICA (SUPERIOR)

Aula 1#

No segundo exemplo temos:

Demonstre as afirmações abaixo utilizando o primeiro princípio de indução:

P(n): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[ n(n + 1)] = n/(n + 1)

Solução:

OBS: O 'x' nas expressões abaixo vale como sinal de multiplicação.

(i) Para n = 1, temos:

"Fórmula"

1/[ n(n + 1)] = n/(n + 1)

1/[ 1(1 + 1)] = 1/(1 + 1)     ==>     1/(1 x 2) = 1/2     ==>     1/2 = 1/2

logo P(1) é verdadeira.

(ii) Vamos supor que a proposição P(n) é verdadeira, para n = K, assim.

HIPÓTESE:

P(K): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[ K(K + 1)] = K/(K + 1)

precisamos mostrar que proposição P(n) também é verdadeira P tal que n = K + 1

TESE:

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/{(K + 1) x [(K + 1) + 1]} = (K + 1)/[(K + 1) + 1]

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[(K + 1) x (K + 1)] = (K + 1)/(K + 2)

Vamos reescrever a tese:

P(K + 1): 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[K(K + 1)] + 1/[(K + 1) x (K + 2)] = (K + 1)/(K + 2)

Somando 1/[(K + 1) x (K + 2)] a ambos os termos da hipótese teremos.

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + ... + 1/[K(K + 1)] + 1/[(K + 1) x (K + 2)] = K/(K + 1) + 1/[(K + 1) x (K + 2)]

pegaremos após a igualdade.

 = K/(K + 1) + 1/[(K + 1) x (K + 2)]

vamos tentar escrever melhor...

... K (K + 2) + 1      =       K² + 2K + 1       =     (K + 1) (K + 1)     =     k + 1

   (K + 1) (K + 2)           (K + 1) (K + 2)            (K + 1) (K + 2)            K + 2

Logo; a proposição P( K + 1 ) é verdadeira.

Portanto P(n) é verdadeira para todo n pertence aos naturais.

Comentem se há "erros" ou se ta legal, Divulguem, sejam membros do blog ...                   ... NÃO CUSTA NADA.